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Les nombres π et e

Au XVIIIe siécle, avec le développement du calcul différentiel et intégral réapparaît l’intérêt pour le calcul du nombre π. Les Babyloniens connaissaient ce nombre, nécessaire au calcul de la longueur d’un cercle dont on connaît le rayon, et l’avait estimé égal à 3+1/8 (= 3,125). Les Égyptiens, quant à eux, l’estimaient égal à 256/81 (=3,16), tandis qu’aux Indes, il était estimé valoir 62832/20000 (= 3,1416), ce qui est une bonne approximation, encore utilisée de nos jours. Archimède s’était attaqué lui aussi au problème à l’aide d’une méthode qui consistait à encadrer un cercle par un polygone inscrit et un même polygone exinscrit. Il avait ainsi obtenu l’encadrement 3+10/71 (3, 14084)  < π < 3+1/7 (3,14285).

Le mathématicien Suisse L. Euler, arrive à exprimer π à l’aide de séries qui permettent le calcul d’autant de décimales de ce nombre qu’on le désire (avec beaucoup de patience !). Une formule dite série de Machain, mathématicien britannique, permet d’en accélérer le calcul. C’est au XIXe siècle que W. Shanks calcula 623 décimales dont il fut démontré en 1946 que la 528e est fausse.

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Figure 9 : Les décimales de PI sous la coupole du Palais de la Découverte à Paris.

Au cours de ses recherches, Euler invente un nouveau nombre qui se révélera tout aussi capital que π dans les Mathématiques. Ce nombre, exprimé lui aussi sous forme de série, se verra attribuer la lettre « e » en l’honneur de son inventeur. Il va permettre à Euler d’établir, de façon inattendue, un lien entre le nombre imaginaire i, le nombre π et e grâce à la simple et merveilleuse formule :  eiπ = -1.
Cette expression est fondamentale. Un siècle plus tard, Ch. Hermite et von Linnemann montreront que « π » et « e » sont des nombres irrationnels « transcendants ». C’est Leibniz qui a donné ce nom à cette catégorie de nombres qu’il soupçonnait, c'est-à-dire des nombres qui ne sont solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers (positifs ou négatifs). À noter que les nombres irrationnels ne sont pas nécessairement transcendants ; ainsi √2 ou √3 ne le sont pas car solutions, respectivement de l’équation  x2 – 2 = 0 et x2 – 3 = 0, toutes deux à coefficients entiers.



Référence à citer

Guy Daney de Marcillac, Excursion au pays du nombre, archeographe, 2014. https://archeographe.net/excursion_au_pays_du_nombre