D'autres nombres...

Revenons à la géométrie analytique. Vous vous rappelez peut-être que les mathématiciens s’étaient trouvés très embarrassés par les nombres imaginaires inventés par Cardan car ils n’arrivaient pas à en imaginer une représentation géométrique. Or, voici qu’au début XIXe siècle un mathématicien amateur du nom d’Argand et le « prince des mathématiciens » Carl Friedrich Gauss lui trouvent une représentation très simple à l’aide de la géométrie de Descartes : un « nombre complexe » (soit la somme d’un nombre « ordinaire » - qu’on appellera « réel » - et d’un nombre « imaginaire ») n’est rien d’autre qu’un point d’un certain plan baptisé « plan complexe », l’axe horizontal représentant, comme d’habitude, les nombres « réels » et l’axe vertical les nombres imaginaires « purs », c'est-à-dire de la forme a.√-1. Ainsi, à tout nombre complexe on peut faire correspondre un point du plan de la même manière qu’à tout nombre « réel » (à savoir l’ensemble des nombres entiers, fractionnaires, négatifs et irrationnels) on peut faire correspondre un point de la droite.

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Figure 10 : Johann Carl Friedrich Gauss. Statue de la façade principale du Palais Universitaire de Strasbourg. Photo Marc Heilig

Cette extension amène le mathématicien irlandais W.R. Hamilton à rechercher si l’on ne pouvait pas trouver une extension similaire à l’espace à 3 dimensions. Il échoue, mais trouve de nouveaux nombres en se plaçant dans un espace à 4 dimensions : les quaternions. Ces nombres présentent une particularité : alors que les nombres réels et complexes sont « commutatifs », donc que a.b = b.a, il n’en n’est plus de même pour les quaternions. C’est le premier exemple de nombre possédant cette propriété.

Hamilton précise aussi la notion de vecteurs qu’il définit comme un ensemble ordonné de nombres noté (x1, x2, …., xn) n étant la dimension de l’espace où les vecteurs sont définis.
À ces vecteurs il associe deux nouvelles opérations : le produit scalaire qui à deux vecteurs fait correspondre un nombre réel, et le produit vectoriel qui à deux vecteurs fait correspondre un vecteur orthogonal aux deux autres. Ce dernier produit est anti-commutatif, ce qui signifie que si, dans le produit, on change l’ordre des vecteurs, le produit change de signe. Notons que ce produit vectoriel n’est valable que pour un espace à 3 dimensions.
L’introduction du concept de vecteur porte les quaternions au rang de curiosité mathématique. Ils sont de ce fait rarement utilisés sauf pour la résolution de quelques problèmes théoriques où ils facilitent les calculs.

Les mathématiciens britanniques Cayley et Sylvester découvrent vers la même époque de nouveaux nombres présentant, eux aussi, cette caractéristique de non-commutativité : les Matrices. Il s’agit de tableaux de nombres réels ou complexes qu’on peut additionner ou multiplier suivant certaines règles lorsqu’elles sont carrées, c'est-à-dire qu’elles ont même nombre de colonnes que de lignes (on parle de matrices [nxn]). La non commutativité de ces matrices jouera un rôle fondamental dans la théorie de la Mécanique Quantique selon Werner Heisenberg et Niels Bohr.

Peut-être vous souvenez-vous qu’Euclide avait montré que la suite des nombres entiers était infinie, et qu’il en était de même des nombres pairs, des nombres impairs et des nombres premiers ? À la fin du XIXe siècle, voici qu’un mathématicien allemand du nom de George Cantor se pose l’étrange question : existe-t-il des infinis plus « grands » que d’autres ?
Il commence par considérer les nombres fractionnaires et, par un procédé de « bijection » (correspondance entre les nombres entiers), qu’il appelle « dénombrables », montre que l’ensemble - Cantor a au préalable défini un ensemble - des nombres fractionnaires a même « puissance » (c'est-à-dire est de même  « taille ») que l’ensemble des nombres dénombrables.
Il note cette puissance par la lettre hébraïque   0  (Aleph zéro) ou puissance du dénombrable. Puis il attaque les nombres réels et, par un procédé de diagonalisation, montre que la puissance des nombres réels est infiniment supérieure à celle du dénombrable.
Il note celle-là  1 et la dénomme puissance du continu. Cantor cherche ensuite à savoir s’il existe des ensembles de puissance intermédiaire entre celle du dénombrable et celle du continu, mais en vain. Ce n’est qu’en 1963 que Paul Cohen montre que cette hypothèse ne peut être déduite à partir des axiomes de base de la théorie des ensembles.